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发布时间:2019-01-07 12:21:46 编辑: 手机版

  1、函数的局部性质——单调性

  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)<f(x2),那么y=f(x)在区间D上是增函数,D是函数y=f(x)的单调递增区间;当x1< x2时,都有f(x1)>f(x2),那么那么y=f(x)在区间D上是减函数,D是函数y=f(x)的单调递减区间。

  ⑴函数区间单调性的判断思路

  ⅰ在给出区间内任取x1、x2,则x1、x2∈D,且x1< x2。

  ⅱ 做差值f(x1)-f(x2),并进行变形和配方,变为易于判断正负的形式。

  ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号,指出单调性。

  ⑵复合函数的单调性

  复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数,根据原则“减偶则增,减奇则减”。

  ⑶注意事项

  函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集,如果函数在区间A和B上都递增,则表示为f(x)的单调递增区间为A和B,不能表示为A∪B。

  2、函数的整体性质——奇偶性

  对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =f(-x),则f(x)就为偶函数;

  对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =-f(x),则f(x)就为奇函数。

  ⑴奇函数和偶函数的性质

  ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数,只要函数具有奇偶性,该函数的定义域一定关于原点对称。

  ⅱ奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

  ⑵函数奇偶性判断思路

  ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则为非奇非偶函数。

  ⅱ确定f(x) 和f(-x)的关系:

  若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,则函数为偶函数;

  若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,则函数为奇函数。

  3、函数的最值问题

  ⑴对于二次函数,利用配方法,将函数化为y=(x-a)2+b的形式,得出函数的最大值或最小值。

  ⑵对于易于画出函数图像的函数,画出图像,从图像中观察最值。

  ⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

  ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内,若在区间内,则接ⅱ,若不在区间内,则接ⅲ。

  ⅱ 若二次函数的顶点在所求区间内,则在二次函数y=ax2+bx+c中,a>0时,顶点为最小值,a<0时顶点为最大值;后判断区间的两端点距离顶点的远近,离顶点远的端点的函数值,即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。

  ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内,则判断函数在该区间的单调性

  若函数在[a,b]上递增,则最小值为f(a),最大值为f(b);

  若函数在[a,b]上递减,则最小值为f(b),最大值为f(a)。

  注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为:

  a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0<a<1时,最小值f(b),最大值f(a)。

  ⑵ 对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。

  3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。

  ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。

  ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。

  ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。

  当x从右侧无限接近原点时,图像无限接近y轴正半轴;

  当y无限接近正无穷时,图像无限接近x轴正半轴。

  幂函数总图见下页。

  4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。

  反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。



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